Teoría de proposiciones (2024-03-23)

Al inicio de la clases, se ven las clasificaciones de proposiciones completas.

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Función proposicional

Al incrementar la cantidad de variables (), tendremos que evaluar casos, por lo que las tablas de verdad, no podremos determinar todos los casos fácilmente con esta, por lo que tendremos que usar función proposicional. ()

• Si es tautología, diremos que ” implica lógicamente “. En otras palabras, siempre asumiremos el segundo valor dentro de la proposición es verdadero. Esto también se le puede llamar modus ponnens, y se usará principalmente para demostraciones
• Si es tautología, diremos que y son equivalencias lógicas. Lo denotaremos por . Esta definición será más usada, porque nos permitirá operar proposiciones lógicas similaremente a ecuaciones.

Equivalencias lógicas básicas

Todas estas proposiciones serán tautología.

1. Ley de idempotencia: , . Potencia está asociado a la idea de operación. Ejemplo: El profesor está haciendo clases y está haciendo clases, por lo que está haciendo clases.
2. Ley de doble negación: . Se han visto propiedades muy similares en ecuaciones ()
3. Ley de conmutatividad: , .
4. Ley de distributividad:
5. Ley de Morgan:

6. Ley de absorción:

7. Ley de absorción parcial:

8. Leyes de identidad: “Fijan” valores dentro de una proposición.

9. Ley de asociatividad:

10. Definición de la implicancia:
11. Modus tollendo tollens, ley de contraposición:
12. Definición del bicondicional:

Proposición

Si , son tautologías, entonces es tautología.

Demostraciones

1. Directa: Supongamos que es una proposición verdadera. En base a eso prueba que también es verdadera. Luego, es verdadera.
2. Por contrapositiva: Como se dio , es una equivalencia lógica con . Por lo tanto, para probar que , basta probar , usando demostración directa.
3. Por contradicción: Supongamos que es falso ( es verdadero), asumiendo que es verdadero. Si llega a alguna contradicción, es decir, tener , o , entonces no puede ser falso ( es verdadero), y así .