Principio de inducción (2024-04-23)

Constituye la demostración del caso en el que la siguiente proposición sea falsa:

Al sabe que la siguiente proposición es verdadera:

You can't use 'macro parameter character #' in math mode\exists n\in\mathbb{N}:\neg p(n) $$Por ejemplo, si $P(1)$ es verdadero, $P(n)\implies P(n+1)$, por lo que $\forall n\in\mathbb{N}:p(n)$ es verdadero. ## Teoremas ### Primer principio Sea $P(n)$ un predicado, $m\in\mathbb{N}$ y la proposición:

\forall n\in\mathbb{N}\ge m: p(n)\qquad(\mathbb{N}\ge m= {\ell\in\mathbb{N}\space|\space\ell\ge m})

You can't use 'macro parameter character #' in math modeSi sucede que 1. $P(m)$ es verdad (Caso base) 2. $P(n)\implies P(n+1)$ es verdad para un $n\ge m$ arbitrario (Paso inductivo) Entonces $P(n)$ es verdadero para todo $n\in\mathbb{N}\ge m$. ## Ejemplos 1. Demuestre que $6^n-1$ es divisible por 5, para todo $n\in\mathbb{N}$ Con el caso base siendo $6^1-1=5=5\cdot1$, sea $n=1$, luego $6^n-1=6^1-1=5=5\cdot1$, luego para $n=1$, $6^n-1$ es divisible por 5, por lo que el caso base es verdadero. Al demostrar con inducción, sea $n\ge1$

\displaylines{ \begin{align} 6^{n+1}-1&=6^{n+1}-6+6-1\ &=6(6^n-1)+5 \end{align} }

ó ó

\displaylines{ \begin{align} 6^{n+1}-1=6\cdot5k+t=5(6k+1) \end{align} }

(n^3\space\text{es div por}\space6\iff\exists k\in\mathbb{Z}:n^3-n=6\cdot k)

\displaylines{ \begin{align} (n+1)^3-(n+1)&=n^3+3n^2+3n+1-n+1\ &=n^3-n+3n^2+3n=n^3-n+3n(n+1) \end{align} }

ó ó í ó

(n+1)^3-(n+1)=6k+3\cdot2k’=6(k+k’)

³ ó á

Cuaderno de Lux