Demuestre que para todo , se cumple que es divisible por 19.
Reescribimos este enunciado como una proposición:
Revisaremos dos casos:
Así, para es divisible por 19
Véase que:
Por hipótesis de inducción, es divisible por 19. Por lo tanto, existe tal que . Luego:
Luego es divisible por 19. Así, por inducción matemática, para todo es divisible por 19.
2. Demuestre, que para todo , se cumple es divisible por 5.
Escribimos esto mismo como una proposición
Veremos los diversos casos
Si
Luego, para ; es divisible por 5. En otras palabras:
Ahora, debemos construir en base a .
Por hipótesis de inducción, existe tal que:
Así:
Luego es divisible por 5. Por primer principio de inducción, para todo es divisible por 5.
3. Sea la sucesión recursiva:
Demuestre que para todo .
Veamos que ocurre en el caso . Por definición:
Como es verdadero, este caso cumple la definición.
Observemos el caso de:
Por definición
Por lo tanto, por hipótesis de inducción:
Como , por inducción matemática, para todo
Notas
Una sucesión se puede definir como una infinitud, un conjunto de elementos continuos, o una función definida como: