Sistemas de ecuaciones 3x3 (2024-03-14)

• Observación:
  • Si , el sistema tiene solución única
  • Si y , el sistema tiene infinitas soluciones
  • Si y , el sistema no tiene soluciones
• Ejemplos: Determine si el sistema tiene soluciones. Tiene solución debido a . Por lo tanto, el sistema tiene solución, y esta es única.

Sistema de ecuaciones 3x3

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas tiene la forma:

Donde y son las incógnitas del sistema. La solución del sistema es el punto que satisface simultaneamente las tres ecuaciones.

Sustitución

En la tercera ecuación, despejaremos , lo cual nos deja con . Reemplazarmos la en las primeras 2 ecuaciones.

Despejando los coeficientes, esto nos deja en

Con esto, podemos resolver la ecuación con métodos de sistemas de ecuaciones 2x2. En este ejemplo se usará reducción.

Podemos después despejar el resto de incógnitas con ecuaciones previas.

Por lo tanto.

Reducción

Escogeremos una ecuación con el menor factor de un coeficiente, ya que será la más fácil de igualar con las demás ecuaciones. Partiremos igualando en la tercera ecuación con en la primera ecuación, operandolas entre sí para poder eliminar

Haremos mismo con la segunda ecuación, esta vez multiplicando la tercera ecuación por 5 para que sea igual al factor.

Esto nos deja con el siguiente sistema de ecuaciones 2x2:

Una vez resuelto, nos deja en . Con esto podremos despejar igualmente en la primera ecuación de nuestro sistema 3x3:

Por lo tanto, la solución del sistema es .

Ejercicios

1. Un día al cine entraron 2 niños con 2 adultos y pagaron 17.000. ¿Cuanto deberá pagar en en entradas una familia con 3 adultos y 4 niños?

Usaremos método de sustitución. En la segunda ecuación, quedamos con . La sustituiremos en la primera ecuación.

Volviendo a :

Por lo tanto, la familia deberá pagar

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2. Resuelva:

Si a la segunda ecuación le sumo la primera ecuación, terminaremos con una nueva ecuación. Esta será llamada “cuarta ecuación”.

Reduciremos igualmente la tercera ecuación usando esta nueva ecuación multiplicada por 4, para igualar . Llamaremos a la ecuación resultante “quinta ecuación”.

Haremos lo mismo con la primera ecuación, usando la nueva ecuación multiplicada por 2.

Con la incógnita resuelta en , la reemplazaremos en la quinta ecuación.

Y con estas dos incógnitas resueltas, las reemplazaremos en la cuarta ecuación.

Por lo tanto, la solución del sistema es