Ejercicios de álgebra (2024-05-31)

Estos ejercicios dependen de los contenidos vistos en Principio de inducción (2024-04-23), y en Sucesiones (2024-04-30).

Primer ejercicio

Demostrar que es divisible por 6 para todo . Se definen los pasos en este orden:

1. Definir predicado
2. Verificar paso base
3. Verificar paso inductivo, indicar hipótesis de inducción
4. Conclusión

Paso 1

Podemos reescribir la expresión es divisible por 6” como:

Paso 2

Supongamos que ” es verdad”

Por lo tanto, cuando , es verdadero, por lo que es verdadero.

Paso 3

Nuestro paso inductivo declara que es verdad. Para , supongamos que vale . Esta será nuestra hipótesis inductiva, y queremos probar que es verdadera. Sin embargo, no sabemos si tendrá valor este predicado.

Como es par, . Así:

Como , tomando , entonces la afirmación es verdadera. es verdadera.

Paso 4

Se concluye que por el primer principio de inducción, se tiene que divisible por 6 es verdadera para todo .

Segundo ejercicio

Demostrar que es divisible por 5 para todo .

Paso 1

Paso 2

Declaramos nuestro paso base como .

Como existe que cumple lo anterior, es verdadero.

Paso 3

Para , supongamos que:

Esta será nuestra hipótesis inductiva, y queremos probar que el siguiente predicado es verdadero:

Realizaremos el siguiente razonamiento para demostrarlo:

Como y , entonces sabemos qu eexiste con . Por lo tanto, es verdad. es verdad.

Paso 4

Por primer principio de inducción, se concluye que divisible por 5 es verdadero para todo .

Tercer ejercicio

Sea una sucesión definida por:

Demostrar que para cada .

Demostración

Declaramos el siguiente predicado.

Paso base

1. Si es igual a 1:

Esto es verdadero, pues:

2. Si es igual a 2:

Esto es verdadero, pues:

Paso inductivo

Para , suponer que:

• Estas dos proposiciones serán nuestras hipótesis de inducción. Debemos demostrar que es verdadero.

Como:

Así:

Luego es verdadero. es verdadero.

Conclusión: Por el segundo principio de inducción, se tiene que vale para todo .

Notas

• No es necesario usar el cero conveniente en ciertos casos. Por ejemplo, podemos reescribir una igualdad y analizar sus interacciones. Por ejemplo: