Biyectividad e inversión de funciones (2024-04-12)

Sea una función:

1. es inyectiva si y solo si:

2. es sobreyectiva si y solo si:

3. es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.

• Biyectividad en diagrama de Venn

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  A

  B

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  Considerando que , entonces
• Biyectividad en el plano cartesiano

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  Considerando que .

Función inversa

Sea y , si y , entonces es la inversa de , y además . Diremos igualmente que es invertible.

Observaciones

• Podemos demostrar que una función es inversa de otra usando composición de funciones. Se utilizó esto dentro de los ejemplos.
• Sea tal que , diremos que:

Teorema

Si es biyectiva es invertible. La razón de esto es debido a que cada elemento del dominio debe tener una única imágen en su recorrido, por lo que si tenemos dos valores con el mismo recorrido, la función no será invertible. El caso es igual para una función que no es sobreyectiva, pero se invierten los roles entre dominio y recorrido.

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f

f⁻¹

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Ejemplos

1. Sea la función , tal que

• Demostrar que es inyectiva

• Demostrar que es sobreyectiva

• Como es biyectiva, entonces es invertible. Hallar la función inversa.

Usaremos funciones compuestas, demostraremos la inversión de :

2. Sea tal que

• Demostrar que no es inyectiva Observaremos que se nos entrega una función cuadrática. Por lo tanto, tendremos dos raíces. Es decir, tendremos dos preimagenes para la imagen 1.

---
title: f(x1)=f(x2)
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=x^2-2x+1

• Demostrar que es sobreyectiva

, por lo que . Por lo tanto, es sobreyectiva.

• Restringir (reducir) el dominio de , tal que sea inyectiva Si el dominio de la función se restringe a , lograremos que sea inyectiva.

Demostraremos esto de la siguiente manera

• Para la función anterior, hallar su inversa

Tarea

Sean y sea la función .

Notas

• Para comprobar biyectividad, se comprueba la inyectividad y sobreyectividad, y se observa si el conjunto que resulta a base de esta demostración corresponde al de la definición de la función.