Teoremas de polinomios (2024-04-13)

Se continúa desde Polinomios (2024-04-09).

Teorema del factor

Sea un polinomio, y . es una raíz de si y solo si divide a .

Teorema del resto

Si , entonces existen únicos polinomios y con tal que

Observaciones

se le llama resto. Si , entonces divide a

Algoritmo de división de polinomios

Consiste en usar “división rápida” para cada coeficiente del polinomio. Se requiere que el primer polinomio tenga un grado mayor que . Se realiza de la siguiente manera:

1. Se ordenan los polinomios de manera decreciente según su grado
2. Se divide el coeficiente de mayor grado respectivo de los polinomios, con el polinomio de mayor grado dividiendo al menor.
3. Se multiplica el término final de la división por
4. Se resta el término resultante a , obteniendo un polinomio de grado menor a este.
5. Se repite el proceso entre el resultado de la resta y el mismo polinomio
6. El proceso termina cuando la resta resulta en un polinomio menor a

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División sintética

Una manera más sencilla y rápida para dividir polinomios. Se representa del siguiente modo para la división .

Drawing 2024-04-15 01.41.12.excalidraw

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2

3

3

-4

6

2

4

-7

-3

6

-6

0

Resto

x²

x¹

x⁰

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En otras palabras, restamos el grado de con , creamos la tabla previa, colocando el coeficiente de menor grado a la izquierda, y restamos cada coeficiente por grado, con el resultado de la resta del coeficiente de grado mayor siendo multiplicado por el número a la izquierda de la tabla, y restando al coeficiente de grado inferior.

Ejemplos

Teorema del resto

• divide a divide a si y solo si:

Como , luego , y divide a .

• . divide a . Véase . Como , luego no divide a .

Algoritmo de división de polinomios

TODO: Dibujar ejemplo

Notas

• En la próxima clase se pasará obtención de raíces y polinomios cuadráticos (se puede conseguir la raíz usando completación de cuadrados).