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Inecuaciones cuadráticas (2024-03-26)

04 abr 20244 min read

Cuando tengamos una inecuación cuadratica, encontraremos soluciones estándar.

El elemento escencial para el análisis dependerá del discriminante ().

Discriminante positiva

Si , la expresión tendrá dos raíces reales distintas ( y ), siendo . Recordar que la fórmula para conseguir las raíces de una ecuación cuadrática son , donde será . El conjunto solución dependerá del signo.

Discriminante cero

Si , la expresión tendrá una raíz doble , y la inecuación se podrá expresar como . Hay 2 casos para el conjunto solución: 4. 5. (Es decir, la raíz)

Discriminante negativa

Si , la expresión cuadrática es irreducible. Es decir, no poseerá raíces. Una expresión cudarática, por lo tanto, deberá ser sumada con un número positivo, y definitivamente será mayor que cero. Por ejemplo, . Por lo tanto: 7. 8. ( significa que no pertenece a ningún conjunto)

Inecuaciones equivalentes

En caso de no saber el signo de un cuadro, el cual tenga otro signo conocido que lo multiplique, solamente necesitaremos ver el signo de comparación de la inecuación, y podremos determinarlo. Por ejemplo:

Ejemplos

  1. Resuelva la inecuación No todos los ejercicios requieren análisis por discriminante (aunque esta sea ), por lo que se factoriza y se buscan los puntos críticos.

Drawing 2024-03-26 23.37.04.excalidraw

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Text Elements

x-5

x+1

(x-5)(x+1)

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El conjunto solución por lo tanto es 2. Resolver la inecuación Se calcula el discriminante.

Como el discriminante es positivo, se encuentran las dos raíces de 1.

Como el signo después de la expresión cuadrática es , el conjunto solución será . 3. Resolver la inecuación Se determina el discriminante.

Como el discriminante es negativo, se reescribe la inecuación:

Y, por lo tanto, como tenemos un signo positivo, el conjunto solución será 4. Resolver la inecuación Resolveremos con metodología previa, procurando usar en este caso inecuaciones equivalentes.

Usando la tabla de signos, se determinará que el conjunto solución será 5. Resuelva la inecuación Desafortunadamente esta inecuación no es factorizable, por lo que se tendrá que trabajar con todos los términos. Buscaremos la determinante de la expresión cuadrática :

Como es mayor que cero, no podremos simplificar esta expresión. Por lo tanto, tendremos que buscar las raíces:

Esto nos deja que:

You can't use 'macro parameter character #' in math mode\displaylines{ \begin{align} x^2-x-1<0&\in\space]r_1,r_2[\\ x^2-x-1>0&\in\space]-\infty,r_1[\space\cup\space]r_2,\infty+[ \end{align} } $$Con este razonamiento, crearemos una tabla de signos. Los puntos críticos ($\text{PC}$) serán $\{2,-3,r_1,r_2\}$. ![[Drawing 2024-03-26 23.44.excalidraw]] Por lo tanto, el conjunto solución será $]-\infty,-3[\space\cup\space]r_1,r_2[\cup]2,\infty+[$ 6. Resolver $x(x-1)^2(x+3)\ge0$: Usaremos [[#inecuaciones-equivalentes|inecuaciones equivalentes]] para eliminar la expresión cuadrática, debido a que con el signo $\ge$ podemos encontrar un equivalente.

\displaylines{ \begin{align} x(x-1)^2(x+3)\ge0\implies x+&\ge0\ x(x+3)&\ge0\space;\space x=1 \end{align} }

You can't use 'macro parameter character #' in math modeEl conjunto solución será $]-\infty,-3]\space\cup\space[0,+\infty[$. Como 1 está incluído en el conjunto solución, no es necesario agregarlo. ## Notas - En el caso de que $a$ sea negativo, se invierte el signo de la inecuación. (No olvidar el [[Continuación de números reales (2024-03-20)#inecuaciones|cambio de signo]]) - Recordar que la clausura de un conjunto solución será [[Continuación de números reales (2024-03-20)#abierto|abierta]] si no incluye a un número (<, >), y [[Continuación de números reales (2024-03-20)#cerrado|cerrada]] en el caso contrario. ($\le$, $\ge$) - En caso de una expresión cuadrática con $\triangle>0$, al buscar las raíces tendremos que ordenarlas por cual es mayor y menor. - Hay que tener cuidado al usar [[#inecuaciones-equivalentes|inecuaciones equivalentes]]. Si eliminamos un término, debemos asegurarnos de que se incluirá la raíz del término que lo compone.

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