Formas de funciones (2024-04-05)

Función cuadrática

Una función cuadrática tendrá la forma:

Y se puede graficar de la siguiente manera:

---
title: a>0
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=x^2

---
title: a<0
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=-x^2

El punto de simetría se le denominará vértice, y se ubicará en donde y .

Discriminante

Este concepto se ha visto previamente en la clase de inecuaciones cuadráticas. Los casos para en:

1. , en el cual la parábola tendrá raíces en y . En términos algebráicos, .

---
title: Determinante > 0
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=x^2-4

2. , en el cual existirá solamente una raíz en el vértice de la parábola. . En términos algebráicos, .

---
title: Determinante = 0
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=x^2

3. , en el cual existirá no existirán raíces reales para la función. En términos algebráicos. .

---
title: Determinante < 0
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=x^2+4

Para , se usarán los casos mostrados, pero con signos de comparación inversos.

Recorrido

Definiremos el recorrido de una función como para , y para .

Función raíz cuadrada

Se definirá como:

Representación gráfica

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title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=x^(1/2)

Función recíproca

Se definirá como:

Representación gráfica

La segunda linea representará la tendencia de la función.

---
title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=1/x
g(x)=x

Función valor absoluto

Se define como:

Representación gráfica

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title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=abs(x)

Función definida por tramos

Se define como:

Ejemplos

Cuadrática

1. Sea la función :

• Determinar dominio de Determinamos que el dominio es $\text{Dom}(f)=mathbb{R}
• Como es positivo, determinaremos que el recorrido deberá ser desde el vértice hacia los reales positivos, por lo que . Determinaremos el valor de bucando el vértice, el cual estará ubicado en .

• Interceptor con los ejes coordenados Eje : Como , la función tendrá dos raíces reales, por lo que deberemos buscarlas. Se ubicarán en y . Para esto, se podrá usar fórmula general:

O factorización:

Por lo tanto, los interceptores en el eje son Eje : Buscaremos el interceptor, el cual estará en . Para esto, se definirá , por lo que el interceptor se ubicará en .

• Gráfica de la función Hice la gráfica por software, pero escencialmente se debe realizar colocando los interceptores de ejes, y la vértice en el plano cartesiano. Una vez hecho esto, se traza la parábola en base a estos puntos.

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title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
---
f(x)=3x^2+12x+9

Definida por tramos

Sea la función:

1. Determinar:

2. Graficar la función

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title: 
xLabel: 
yLabel: 
bounds: [-10,10,-10,10]
disableZoom: false
grid: true
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f(x) = x < 0 ? x^2 : (x > 2 ? -x + 5 : x^(1/2))

Notas

• Al graficar una función definida por tramos, no se debe interrumpir el tramo previo al siguiente intervalo.