Teoría de conjuntos (2024-04-02)

Conjunto

Conexión de objetos sin contar órden ni repetición. Pueden ser tanto reales como abstractos. Por ejemplo: . Podremos decir que solo si el/los objeto(s) pertenecen al conjunto (denotado con , el cual se llama igualmente relator). Por lo tanto, será un predicado falso.

Definidos por extensión

En esta definición se mencionan todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto , o . No podemos definir conjuntos por extensión si no sabemos el número total de elementos. Por ejemplo, incluyendo a todos los número reales.

Definidos por comprensión

Se define por lo criterios o condiciones que los elementos que lo componen. Ejemplos incluyen:

Podemos expresar intervalos con esta misma representación de criterios.

Subconjunto

Sean y dos conjuntos, es subconjunto de , denotado por , si y solo si todo elemento de es un elemento de . Es decir:

Por ejemplo sean los conjuntos:

A base de esto, podemos decir que . Usaremos demostrar directa para probarlo.

• Sea , luego . Como , entonces .
• Sea , luego . Así existe . Es decir, . Como es arbitrario, para todo , . Por definición, .

Impertenencia

Podemos decir que un conjunto no pertence a otro si y solo si existe un número perteneciente al primero que no pertenece al segundo. Es decir:

Debido a que:

Con el ejemplo anterior, podemos decir que pues existe , , tal que .

Axiomas

1. Extensión:
2. Reflexibilidad:
3. Infinito: Existe un conjunto infinito.
4. Especificación: Sea un conjunto, y un predicado. Existe un conjunto , el cual se puede definir como . Por ejemplo:

Notas

• Un conjunto definido por se declara bajo la paradoja de Russel, y es un absurdo, debido a que .