Teoremas y conjuntos (2024-03-07)

Divisibilidad

• es divisible por
• divide a
• Existe tales que

Demostración

, divide a

Paridad

Sea :

1. Diremos que si es divisible por 2
2. Diremos que es un número impar si es que no es un número par
   • Si es par:
     1. Existe
   • Si es impar:
     1. es par
     2. Existe

Propiedades

Suma:

1. Par + Par = Par
2. Par + Impar = impar
3. Impar + Impar = Par

Demostración

Sean y impares, y existe y tal que y :

Multiplicación

1. Par Par = Par
2. Impar Par = Par
3. Impar Impar = Impar

Demostración

Con las condiciones de la demostración de las propiedades de suma:

Como , es entero y por definición es impar

Teorema del resto

Sean con y y , entonces existen números y con tal que . Los número y con esas propiedades son únicos, y si , entonces es divisible por .

Demostración

y

---

, :

---

Números racionales

Se define los números racionales como todos los números que pueden ser representados como divisón de dos número enteros con divisor distinto a 0. Denotamos la colección de todos estos números como .

Semi-periódico

Un decimal infinito que a partir de cierta posición decimal siempre repita la misma sucesión finita.

Ejemplos

Teorema

1. Para cada par de enteros , el número decimal es semiperiódico.
2. Para cada número decimal semi-periódico existen enteros tal que

Demostración

---

---

Números primos

Sean y dos números naturales:

1. Diremos que es un número primo si sus únicos divisores son y n.
2. Diremos que y son primos relativos o coprimos entre si, si los únicos divisores en común entre y son .

Ejemplo

• Coprimos: 4 y 9 son primos relativos.

Teoremas

• Euclides: Existen infinitos números primos.
• Fundamental de la aritmética: Sea n un número entero, entonces existen únicos números primos (salvo factor y reordenamiento) y números naturales tales que se puede escribir como el siguiente producto:

---

Números irracionales

Aquellos números que no es racional. El conjunto de todos los números irracionales se denota por o . Aquel que no se puede por 2 números enteros o por divisor distinto de 0.

Glosario

= Prima, distingue números distintos en álgebra