Funciones trigonométricas Pt. 2 (2024-04-26)

Continuando desde Funciones trigonométricas (2024-04-24). Recordemos la siguiente gráfica:

top=1.5;
bottom=-1.5;
left=-2.25;
right=2.25;
---
f(x)=\sqrt{1-x^2}|blue
g(x)=-\sqrt{1-x^2}|blue
(0,1)|red
(0,-1)|red
(1,0)|red
(-1,0)|red

Las siguientes definiciones de funciones son relaciones en base a esta función.

Función seno

Se define por las siguientes propiedades:

Es una función periódica, por lo que se repite cada . Es decir:

Es impar. Por lo tanto:

Identidades angulares

Gráfica

f(x)=\sin{x}

Funciones con este tipo de gráfico se definen como función sinusodial. En este caso, la función cumple un ciclo por cada .

Función coseno

Se define bajo las siguientes propiedades:

Es igualmente una función periodica, por lo que se repite cada . Es decir:

Sin embargo, a diferencia de la función seno, es una función par, por lo que:

Identidades angulares

Gráfica

f(x)=\cos{x}

Es escencialmente la función , pero con una traslación de hacia la izquierda. Al igual que la función seno, ésta función cumple un ciclo cada .

Función tangente

En otras palabras, el dominio de la función tangente será cualquier valor real menos los valores donde , debido a que la definición , al ser una fracción, no permite valores iguales a 0 en su denominador, los cuales se formarían al no incluir la restricción anterior.

Es una función periodica al igual que las funciones seno y coseno, por lo que:

Es una función impar, por lo que:

Identidades angulares

Gráfica

f(x)=\tan{x}

Se refiere a este tipo de función como una función asíntota. Se detallarán este tipo de funciones al ver límites. Esta función cumple un ciclo cada .

Ninguna de las funciones anteriores será una función inyectiva, a menos que limitemos la función a un rango. Esto se puede lograr con las siguientes funciones:

Funciones trigonométricas inversas

Arcoseno

La inversa de función seno. Si limitamos el seno entre , veremos que se forma el siguiente gráfico:

top=1.5;
bottom=-1.5;
left=-2.25;
right=2.25;
---
f(x)=\sin(x)|x<=1.57079632679|x>=-1.57079632679

Por lo tanto:

Conseguiremos si invertimos la función. Es decir:

Lo cual formará el siguiente gráfico:

top=2.25
bottom=-2.25
left=-1.5
right=1.5
---
f(x)=\arcsin(x)

Identidades angulares

Observación

Tambien se debe agregar que una función es una función impar.

Arco coseno

Como la función coseno es una traslación de la función seno, limitaremos la función coseno a .

top=1.5;
bottom=-1.5;
left=-0.5;
right=4;
---
f(x)=\cos(x)|x>=0|x<=3.14159265359

Por lo tanto, al invertir la función, obtendremos el siguiente gráfico:

top=4;
bottom=-0.5;
left=-1.5;
right=1.5;
---
f(x)=\arccos(x)

Identidades angulares

Observación

Arco tangente

Se define de la siguiente forma.

Identidades angulares

Observación

Ejemplos

1. Calcular

• Como :

• Podemos resolver este problema al recordar que el ángulo complementario de será . Por lo tanto:

• Recordemos la [[Funciones trigonométricas (2024-04-24)#Identidades trigonométricas (Elementales)#Pitagóricas|identidad pitagórica]], y despejemos .

Una vez hecho, podemos reemplazar esta definición en el problema inicial.