Operatoria de conjuntos (2024-04-04)

Intersección

Sean y conjuntos, se define la intersección de con como el conjunto:

Es decir:

Podemos igualmente representar la intersacción gráficamente como:

Intersección.excalidraw

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Unión

Sean y conjuntos, se define la unión de con como el conjunto

Es decir:

Podemos representarlo gráficamente como:

Unión.excalidraw

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U

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Propiedades

Diferencia

Sea un conjunto, se define la diferencia entre y como el conjunto:

Lo podemos igualmente interpetar como:

Diferencia.excalidraw

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Propiedades

• Demostración directa de tercera propiedad: Sea , asumo , luego . De lo contrario y . Asi . Luego y . Es decir, y . Así . Como es arbitrario, .
• Demostración inversa de tercera propiedad: Sea , luego y , luego . Así, como es arbitrario . En sintesis, . Así, .
• Demostración por contradicción de tercera propiedad: Sea , luego como , , es decir y , luego y . Sea , luego y . por lo mostrado , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, , por lo que

Complemento

Sea un conjunto. Se define el complemento de con respecto al universo , o solamente complemento de , como el conjunto:

Es decir:

Complemento.excalidraw

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Propiedades:

Producto cartesiano

Sean y conjuntos, se define el producto cartesiano entre y como el conjunto:

Producto cartesiano.excalidraw

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x

y

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Propiedades

• Sean , , y conjuntos, y y , entonces . Las demás propiedades se pueden encontrar en continuación de producto cartesiano.

Observación

Ejemplos

Axiomas

1. ¿Qué elementos tiene el conjunto ? Debido al axioma de reflexibilidad, .
2. Sea A un conjunto .

Este es un caso autocomplaciente, debido a que lo podemos reescribir de la siguiente forma.

Intersección

1. Disjunción.excalidraw

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   A

   B

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2. Ejemplo 2.excalidraw

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3. Ejemplo 3.excalidraw

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Notas

• Cardinalidad es el cantidad de elementos para conjuntos finitos. En el caso de ser infinitos, serán cardinales si los dos conjuntos serán biyectivos. Se verá este tema más a profundo en cálculo 1.
• El análogo para un plano cartesiano tridimensional es un espacio real.