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Polinomios (2024-04-09)

10 abr 20243 min read

Un polinomio en la variable es una expresión algebráica de la forma:

Donde los términos se llaman coeficientes del polinomio, y cumplen para todo .

Mono

Sea un polinomio, de la forma:

Se dice que es mónico si

Grado

Sea un polinomio en la variable , en símbolos, , como el exponenente más grande de la variable, siempre y cuando su coeficiente sea distinto de 0.

Propiedades

Sean polinomios en la variable , entonces:

  1. Conmutativa en adición:

Métodos de adición

Sean:

Sumatoria

Manual

  1. Conmutativa en producto:

Método de producto

  1. Asociativa:
  2. Distributiva:
  4. si y solo si:

Raíz

Sea un polinomio, y es una raíz de si y solo si .

División

Sean y polinomios, diremos que divide a si existe un tercer polinomio ), tal que

Ejemplos

Polinomios

Grado

Raíz

  • Sea , luego , debido a que
  • Sea , , debido a que:

División

divide a

Como por ² es , luego divide a

Taller

En una encuesta realizada a 100 alumnos que hablan varios idiomas, se obtuvo la siguiente información

  • Exactamente 28 personas hablan español
  • Exactamente 30 personas hablan alemán
  • Exactamente 42 personas hablan francés
  • Exactamente 8 personas hablan español y alemán
  • Exactamente 10 personas hablan español y francés
  • Exactamente 5 personas hablan alemán y francés
  • Exactamente 3 personas hablan los tres idiomas ¿Cuantos no hablan ninguno de los tres idiomas, y cuantos hablan exclusivamente francés?

Solución

Drawing 2024-04-09 17.07.46.excalidraw

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Text Elements

E

A

F

U

13

3

30

20

2

7

5

Enlace al original

  • Sea el conjunto de los alumnos
  • Sea el conjunto de alumnos que hablan español
  • Sea el conjunto de alumnos que hablan alemán
  • Sea el conjunto de alumnos que hablan francés Se sabe que:

Por lo tanto, 20 personas no habla ninguno de los dos idiomas, y 30 hablan exclusivamente francés

Observaciones

  • no es polinomio
  • no es polinomio
  • no es la única incógnita que podemos usar para un polinomio, mientras se cambie dentro del polinomio mismo. Es decir, lo siguiente es igualmente válido:
  • Solo se estudiarán polinomios con raíces reales, aunque existan algunos con raíces complejas.

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