Continuación de números reales (2024-03-20)

Previamente vimos los axiomas de cuerpo, los cuales se definen de la siguiente forma:

1. Clausura:
2. Conmutativa:
3. Asociativa:
4. Elemento neutro:
5. Inverso:
6. Distributiva:

Proposición

Esta propiedad no se cumple necesariamente en matrices, las cuales se cubrirán más adelante.

Axiomas de Cuerpo Ordenado

• Definición de reales positivos:
• Completitud de los números reales: (Para todos los números reales en , , existen infinitos reales, tal que es menor que , y mayor que x)

Definición

1. es menor que
2. es menor o igual que
3. es mayor que
4. es mayor o igual que

Axioma de tricotomía

Define las únicas relaciones que pueden tener dos números reales.

Inecuaciones

Se opera muy similar a una ecuación, pero se denota por tener infinitas soluciones, incluso si limitamos el rango de la inecuación.

Ejemplos

Intervalos

Abierto

No considera ninguno de los dos extremos, solo los valores dentro del mismo intervalo.

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a

b

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Cerrado

Considera a los extremos y valores internos.

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a

b

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Semi-abiertos

Poseen un valor excluyente, y otro incluyente.

• Semiabierto derecha.excalidraw

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  a

  b

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• Semiabierto izquierda.excalidraw

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  a

  b

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Rayos

Definen un intervalo sin límite en un signo. En otras palabras, es infinito en un signo. Su lado infinito no puede ser cerrado.

Positivos

• Rayo positivo cerrado.excalidraw

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• Rayo positivo abierto.excalidraw

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Negativos

• Rayo negativo cerrado.excalidraw

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• Rayo negativo abierto.excalidraw

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Ejemplos

Nota: Al multiplicar una ecuación con un signo distinto, se invierte el signo. 2. Como no sabemos el signo de la inecuación, NO se puede multiplicar el denominador, debido a que no sabemos su signo, considerando que la incógnita es menor al valor real expresado al lado derecho de la inecuación. Hay muy pocas excepciones donde se puede multiplicar una inecuación con este signo. En este caso la solución es:

3. (caso especial) Como la ubicación de la incógnita es mayor que el equivalente, se podrá usar inverso multiplicativo, debido a que sabemos que la incógnita será positiva.